Quick Guide
このページでできること
微分、積分、ベクトル場、フーリエ級数、ローレンツアトラクターなどを通して、「変化」を記述する数学を動き付きで確認できます。 まず可視化に触れ、そのあと応用分野へ読み進めると全体像を掴みやすい構成です。
- 微積分
- 微分方程式
- 力学系
- カオス
Quick Guide
微分、積分、ベクトル場、フーリエ級数、ローレンツアトラクターなどを通して、「変化」を記述する数学を動き付きで確認できます。 まず可視化に触れ、そのあと応用分野へ読み進めると全体像を掴みやすい構成です。
等差数列・等比数列。級数の収束と発散。
極限・微分・積分。微積分の基本定理。テイラー展開。
勾配・発散・回転。グリーン定理・ストークス定理。
常微分方程式・偏微分方程式。物理現象のモデリング。
固定点・周期軌道・分岐。アトラクター。
バタフライ効果。ローレンツアトラクター。リャプノフ指数。
複素解析。正則関数。コーシーの積分定理。
実解析・測度論。ルベーグ積分。フーリエ解析。
ドラッグで回転・スクロールでズーム。σ=10, ρ=28, β=8/3 でバタフライ型アトラクターが出現する
リーマンは「x軸で切る」、ルベーグは「y軸の値域で切って逆像の測度を取る」。ディリクレ関数など非可測な関数に対応できる
左半平面(σ<0)の極 → 安定・減衰。虚部ωが振動数。σ=0で持続振動、σ>0で発散
∂u/∂t = α·∂²u/∂x²。境界条件 u(0,t)=u(π,t)=0。高温部(赤)→低温部(青)へ拡散する様子。ドラッグで回転可能
dx∧dy(u,v) = det[u,v] — 2つのベクトルが張る向き付き面積。反対称性: dx∧dy = −dy∧dx
微分と積分が互いに逆演算であるという根本的定理
滑らかな関数を冪級数として表現する
指数関数と三角関数の深い関係を示す
線積分と面積分を結ぶベクトル解析の統一定理
「変化」の数学が現代社会のどこで活きているか
ニュートン力学・電磁気学・量子力学はすべて微分方程式で記述される。橋・航空機・ロケットの設計にも微積分が不可欠。
Black–Scholesオプション価格モデルは確率微分方程式。最適制御理論（ポンリャーギン）は資源配分・投資戦略に活用。
勾配降下法は多変数微積分そのもの。誤差逆伝播アルゴリズム（バックプロパゲーション）は連鎖律の繰り返し適用。
大気・海洋のシミュレーションはナビエ–ストークス方程式（偏微分方程式）。カオス理論はバタフライ効果（ローレンツ方程式）を説明。
フーリエ変換・ラプラス変換は音声圧縮（MP3）、画像圧縮（JPEG）、無線通信のフィルタ設計の基盤。
薬物動態モデル（血中濃度の変化）、感染症の拡大モデル（SIR）、神経活動電位（ホジキン–ハクスリー方程式）。