座標を用いた幾何学。デカルト座標・極座標・円錐曲線。
連続変形で変わらない性質の研究。コーヒーカップ ≅ ドーナツ。
三角関数の定義から応用まで。フーリエ解析の基盤。
曲線・曲面の曲率。リーマン幾何学・相対性理論への応用。
自己相似性を持つ複雑な図形。マンデルブロ集合・コッホ雪片。
ベクトル空間の幾何学的解釈。内積・外積・射影。
代数方程式と幾何図形の対応。射影幾何・アフィン幾何。
多角形・多面体・曲線・曲面。正多面体はなぜ5つだけ？
双曲平面: 直線(測地線)は円盤の境界に直交する円弧。1本の直線の外の点を通る「平行線」が無数に存在する
ℝ²では全てのループが点に縮小できる(π₁=0)。穴があると「穴を巻く」ループは縮小不可(π₁=ℤ)
K=κ₁·κ₂（主曲率の積）。球面: 両方向に同符号の曲がり。鞍面: 逆符号の主曲率。平面: 曲率ゼロ。ガウスの驚異の定理: Kは等長変換不変
複素関数の多価性をリーマン面で可視化。√z は z を一周すると別のシートへ移動する。分岐点は原点
底空間S¹の各点にファイバーℝが付いている。自明束は円柱、ねじれた束はメビウスの帯に対応する
直角三角形の辺の関係。内積の定義にも繋がる。
頂点・辺・面の数の関係。位相不変量の先駆け。
曲面の内在的な曲がり方を表す。ガウスの驚異の定理。
自己相似な図形の「次元」は整数とは限らない。
「空間」の数学が現代社会のどこで活きているか
3Dレンダリングは射影幾何学の直接応用。四元数は3D回転をジンバルロックなしに表現するため、ゲームエンジン（Unity/Unreal）で標準使用。フラクタルは地形・雲の自然生成に活用。
地球は球面（リーマン幾何）。測地線（最短経路）計算・球面三角法は航空路設計に不可欠。地図投影（メルカトル・ランベルト）は微分幾何の応用。
MRIは位相空間（k空間）でのフーリエ変換を使用。CT（コンピュータ断層撮影）はラドン変換（逆問題）。医療画像の3D再構成は幾何学的アルゴリズムを要する。
ロボットアームの逆運動学は Lie 群 SE(3) 上の最適化問題。点群処理（LiDAR）は位相的データ解析（TDA）を活用。SLAM（自己位置推定）は幾何学的推論の塊。
一般相対性理論はリーマン多様体上の幾何学。重力波は時空の曲率の変動。ブラックホールの境界（事象の地平面）はホモトピー的な概念で理解できる。
パーシステントホモロジーはデータの「穴」の構造を検出。がんの組織形態解析・脳ネットワーク分析・材料科学での多孔質構造解析に応用される。