結合律・単位元・逆元を持つ代数系。対称性の数学。
加法と乗法の両方を持つ代数系。有限体と暗号理論への応用。
単位元を持つ結合的代数系。計算機科学への応用。
整数の性質の研究。フェルマーの最終定理・素数分布。
数学の「数学」。対象と射による統一的な抽象化。
ベクトル空間・行列・固有値。応用数学の基盤。
代数方程式の解集合を幾何学的に研究する分野。
基本群・ホモロジー・コホモロジー。空間の代数的不変量。
複素平面上の根（単位根）をガロア群の作用（置換）で入れ替える。5次以上の一般方程式は対称群S₅が可解でないため根号解なし
テンソル積 u⊗v は rank-1 行列。行列の各セルが uᵢvⱼ に対応し、ヒートマップで表示
E²ページ: Eᵖ'ᵍ₂ = Hᵖ(B; Hq(F)) から出発し、微分 dᵣ: Eᵖ'ᵍᵣ→Eᵖ⁺ʳ'ᵍ⁻ʳ⁺¹ᵣ でページが進むごとにコホモロジー群が確定する
有限群の部分群の位数は群の位数を割り切る
群準同型の像と核の関係を示す基本定理
p が素数で gcd(a,p)=1 なら a^(p-1) ≡ 1
圏論の最重要補題。「対象はその射によって決まる」
「構造」の数学が現代社会のどこで活きているか
AES暗号は有限体 GF(2⁸) 上の演算。楕円曲線暗号（ECC）はアーベル群の構造を活用。RSAは環論（ℤ/nℤ）の性質が理論的基盤。
ハミング符号・リード–ソロモン符号・BCH符号はすべて有限体（ガロア体）上の多項式環の理論から構築。CDやQRコードに応用。
テンソル積はCNNの畳み込み演算・注意機構（Attention）の数学的基礎。行列の固有値分解（PCA）は次元削減に。表現論はグループ対称性を持つデータの学習に活用。
標準模型の対称性は Lie 群 U(1)×SU(2)×SU(3) で記述。素粒子の分類は群の表現論（ゲルマン–八道説）から生まれた。
音階の構造は ℤ/12ℤ の加法群（12音平均律）。ウェーブレット変換の理論的根拠はマルチスケール解析の代数構造から来ている。
分子の対称性は点群（群論）で分類し、赤外吸収スペクトルを予測。DNAの相補性・タンパク質の折り畳み対称性の解析にも群論的視点が有効。